Schulte, MatthiasMatthiasSchulte1253059659Trapp, VanessaVanessaTrapp2024-12-042024-12-042024Technische Universität Hamburg (2024)https://hdl.handle.net/11420/52229Lower bounds for variances are often required for deriving central limit theorems. In this thesis, a generalised reverse Poincaré inequality is established, which provides a lower variance bound for Poisson functionals and depends on the difference operator of some fixed order. To show how this lower variance bound can be used, three different applications from stochastic geometry are explored: statistics of spatial random graphs in Euclidean and hyperbolic space, Lp surface areas of random polytopes in the Euclidean unit ball and geometric functionals of excursion sets of Poisson shot noise processes.Untere Varianzschranken sind häufig notwendig, um zentrale Grenzwertsätze herzuleiten. In dieser Arbeit wird eine verallgemeinerte, umgekehrte Poincaré-Ungleichung eingeführt, die eine untere Varianzschranke für Poisson-Funktionale liefert und vom Differenzenoperator einer festen Ordnung abhängt. Der Nutzen dieser unteren Varianzschranke wird mittels dreier Anwendungen aus der stochastischen Geometrie illustriert: Kenngrößen von räumlichen Zufallsgraphen im euklidischen und hyperbolischen Raum, Lp-Flächeninhalte von Zufallspolytopen in der d-dimensionalen Einheitskugel und geometrische Funktionale von Exkursionsmengen von Poisson-Shot-Noise-Prozessen.enhttps://creativecommons.org/licenses/by/4.0/lower variance boundsnormal approximationPoisson functionalsPoisson shot noise processesrandom polytopesspatial random graphsNatural Sciences and Mathematics::510: MathematicsDoctoral Thesishttps://doi.org/10.15480/882.1377410.15480/882.13774Reitzner, MatthiasMatthiasReitznerOther