2023-12-082023-12-08https://hdl.handle.net/11420/44542Viele zufällige geometrische Systeme werden mit Hilfe von zugrunde liegenden Punktprozessen konstruiert. Globale Größen von ihnen lassen sich häufig als Summen von Beiträgen einzelner Punkte, so genannter Scores, darstellen. Stabilisierung bedeutet, dass der Score eines Punktes nur von den anderen Punkten des Punktprozesses in einer zufälligen Umgebung abhängt. Derartige Summen von Scores werden als stabilisierende Funktionale bezeichnet und sind von großer Bedeutung in der stochastischen Geometrie. Sie kommen beispielsweise im Zusammenhang mit räumlichen Zufallsgraphen, zufälligen Mosaiken oder Zufallspolytopen vor. Gegenstand dieses Projektes sind stabilisierende Funktionale von zugrunde liegenden Poisson- oder Binomial-Punktprozessen und ihr asymptotisches Verhalten, wenn die Anzahl der Punkte gegen unendlich strebt. Hierbei können die Varianzen stabilisierender Funktionale von unterschiedlicher Ordnung sein, was bei ihrer Untersuchung zu berücksichtigen ist. Grenzwertsätze für stabilisierende Funktionale sind ein aktives Forschungsthema seit mehr als zwanzig Jahren und lassen sich auf viele unterschiedliche Probleme anwenden. Das Ziel dieses Projektes ist, die Theorie zu Grenzwertsätzen für stabilisierende Funktionale in verschiedene Richtungen erheblich zu erweitern und zu ergänzen: (i) multivariate quantitative zentrale Grenzwertsätze, (ii) Approximation durch die diskretisierte Normal-Verteilung, (iii) Normal-Approximation in der Totalvariationsmetrik und (iv) funktionale zentrale Grenzwertsätze. Hierfür sollen abstrakte Resultate gezeigt werden, die für große Klassen stabilisierender Funktionale und insbesondere für unterschiedliche Ordnungen der Varianz gültig sind. Diese Ergebnisse sollen auf viele wichtige Beispiele aus der stochastischen Geometrie angewandt werden wie Kantenlängen-Funktionale und Komponentenanzahlen von räumlichen Zufallsgraphen, Kantenlängen-Funktionale von Voronoi-Mosaiken, das Volumen der Voronoi-Approximation, Anzahlen an maximalen Punkten sowie innere Volumina und Anzahlen von k-Seiten von Zufallspolytopen. Die Beweise von mehreren der geplanten Resultate werden die Stein‘sche Methode oder ihre Kombination mit dem Malliavin-Kalkül verwenden.Many random geometric systems are constructed from point processes. Their global quantities can frequently be expressed as sums of contributions of the underlying points, so-called scores. Stabilization means that the score of a point only depends on the other points of the point process in a random neighborhood. Such sums of scores are called stabilising functionals and play an important role in stochastic geometry. They arise, for example, in the context of spatial random graphs, random tessellations or random polytopes. This project concerns stabilising functionals of underlying Poisson or binomial point processes and studies their asymptotic behaviour as the number of points goes to infinity. Here the variances of stabilizing functionals can have different orders, which is crucial for their analysis. Limit theorems for stabilizing functionals are an active topic of research for more than twenty years and can be applied to many different problems. The goal of this project is to significantly extend and complement the limit theory for stabilizing functionals in several directions: (i) multivariate quantitative central limit theorems, (ii) discretized normal approximation, (iii) normal approximation in total variation distance and (iv) functional central limit theorems. It is planned to derive abstract results that are valid for large classes of stabilizing functionals and, in particular, for different variance orders. These findings will be applied to many prominent examples from stochastic geometry such as edge-length functionals and component counts of spatial random graphs, edge-length functionals of Voronoi tessellations, the volume of the Voronoi set approximation, numbers of maximal points as well as intrinsic volumes and numbers of k-faces of random polytopes. The proofs of some of the intended results will rely on Stein’s method or its combination with Malliavin calculus.