Please use this identifier to cite or link to this item: https://doi.org/10.15480/882.1081
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Title: Coding theory via Groebner bases
Other Titles: Codierungstheorie mittels Gröbnerbasen
Language: English
Authors: Saleemi, Mehwish 
Keywords: Gröbnerbase;linearer Code;binomiales Ideal;Syzygie;Groebner base;linear code, binomial ideal, syzygy
Issue Date: 2012
Examination Date: 14-Feb-2012
Abstract (german): Codierungstheorie spielt eine wichtige Rolle bei der effizienten Übertragung von Daten über einen gestörten Nachrichtenkanal. In diese Arbeit werden effiziente Codierungverfahren für lineare Codes mithilfe algebraischer Methoden entwickelt. Lineare Codes werden als Ideale in Restklassenringen mittels Gröbnerbasen beschrieben. Dabei werden Codes mit designiertem Hammingabstand erhalten, die den primitiven Reed-Muller-Codes überlegen sind. Zudem werden zu binomialen Idealen (gegeben durch eine Summe eines torischen Ideals und eines Primideals) assoziierte Codes anhand von minimalen Erzeugern und Gröbnerbasen untersucht. Für diese nichttorischen binomialen Ideale werden universelle Gröbnerbasen, Graverbasen und Minimalbasen angegeben. Es wird gezeigt, dass jedes solche binomiale Ideal eine natürliche reduzierte Gröbnerbasis besitzt, die eine einfache Codierung erlaubt. Abschließend werden die syzygies sowie die zugehörige freie Auflösung des binomialen Ideals eines linearen Codes gegeben.
Abstract (english): Coding theory plays an important role in efficient transmission of data over noisy channels.In this thesis efficient encoding procedure for linear codes is developed using an algebraic approach. Description of linear codes as ideals in a residue class ring are given in terms of Groebner basis. While investigating primitive Reed Muller codes, a special family of linear codes with designed Hamming distance is obtained. A result proves their superiority over existing primitive Reed Muller codes. Furthermore, codes associated to a particular binomial ideal, defined as a sum of toric ideal and a prime ideal, are explored through minimal generators and Groebner basis. For these non-toric binomial ideals universal Groebner bases, Graver bases and circuits are also found. It is shown that each such binomial ideal has a natural reduced Groebner basis which provides a very compact encoding procedure. Finally, the binomial ideal of a linear code is presented in terms of its syzygy modules and the corresponding finite free resolution is also given.
URI: http://tubdok.tub.tuhh.de/handle/11420/1083
DOI: 10.15480/882.1081
Institute: Rechnertechnologie E-13 
Faculty: Elektrotechnik und Informationstechnik
Type: Dissertation
Advisor: Zimmermann, Karl-Heinz 
Thesis grantor: Technische Universität Hamburg
License: http://doku.b.tu-harburg.de/doku/lic_ohne_pod.php
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