Das Variationsproblem der Elastostatik

Abstract

Das Variationsproblem der Elastostatik

Ausgangspunkt der Arbeit sind die Differentialgleichungen des linear-elastischen Kontinuums und die daraus folgenden NAVIER'schen Gleichungen. Als Randbedingungen werden allgemeine gemischte Randbedingungen formuliert. Zunächst werden der Energiesatz der Elastizitätstheorie, die Formänderungsarbeit und das Gesamtpotential abgeleitet. Der einfache Denkansatz der Variation der Verschiebungen, gleichbedeutend mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen, wird eindeutig definiert. Die Anwendung führt auf das Prinzip der virtuellen Arbeiten. Die Identität zwischen dem Prinzip der virtuellen Arbeiten und der Stationarität des Gesamtpotentials TI wird für ein allgemeines elastisches Stoffgesetz nachgewiesen. Durch Einführen eines linear-elastischen Stoffgesetzes folgt die Minimaleigenschaft des Gesamtpotentials und damit das Minimalprinzip der Verschiebungen. Schließlich wird das dreidimensionale Variationsproblem der Elastostatik formuliert. Die zu diesem Variationsproblem gehörenden EULER-LAGRANGE'schen Differentialgleichungen werden abgeleitet. Sie erweisen sich als identisch mit den NAVIER'schen Gleichungen. Demnach filtert die Lösung des Variationsproblems genau den Satz des Verschiebungsfeldes aus, der den NAVIER'schen Gleichungen und damit auch den Differentialgleichungen des Systems genügt.

This work is based upon the differential equations of the linear-elastic continuum and - as a result thereof - NAVIER's equations. General mixed boundary conditions are formulated. First of all the theorem of energy of the theory of elasticity, the strain energy and the total potential energy are derived. The simple statement of the variation of displacernents, being identical with the principle of virtual displacements, is defined definitely. The application leads to the principle of virtual works. The identity of the principle of virtual works and the principle of stationary total potential TI is proven for a general elastic stress-strain relation. Through the introduction of a linear-elastic constitutive relation results the minimal quality of the total potential energy and therefore the minimal principle of displacements. Eventually the three-dimensional variational problem of elasticity is formulated. EULER-LAGRANGE's differential equations, which belong to this variational problem of elasticity, are deduced. They turn out to be identical with NAVIER's equations. Consequently the result of the variational problem filters out exactly the set of the field of displacement, which in turn fulfills the requirements of NAVIER's equations, and therefore also the differential equations of the system.